Question

如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接 AE.AC和BE相交于点O.

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；

（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.

①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；

②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？

Answer

【解析】
（1）四边形ABCE是菱形．

∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，

∴EC∥AB，且EC=AB，

∴四边形ABCE是平行四边形，

又∵AB=BC，

∴四边形ABCE是菱形；

（2）①四边形PQED的面积不发生变化．

方法一：∵ABCE是菱形，

∴AC⊥BE，OC=AC=3，

∵BC=5，

∴BO=4，

过A作AH⊥BD于H，（如图1）

∵，

即，

解得AH=．

或∵∠AHC=∠BOC=90°，∠BCA=∠BCA，

∴△AHC∽△BOC，

∴AH：BO=AC：BC，

即AH：4=6：5，

∴AH=．

由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，

∴BP=QE，

∴

方法二：由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，

∴，

∵△ECD是由△ABC平移得到的，

∴ED∥AC，ED=AC=6，

又∵BE⊥AC，

∴BE⊥ED，

∴

②方法一：如图2，

当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，

∵∠2是△OBP的外角，

∴∠2＞∠3，

∴∠2不与∠3对应，

∴∠2与∠1对应，

即∠2=∠1，

∴OP=OC=3

过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，

∴△OGC∽△BOC，

∴CG：CO=CO：BC，

即CG：3=3：5，

∴CG=，

∴．

方法二：如图3，

当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，

∵∠2是△OBP的外角，

∴∠2＞∠3，

∴∠2不与∠3对应，

∴∠2与∠1对应，

∴QR：BO=PR：OC

即：4=PR：3，

∴PR=，

过E作EF⊥BD于F，设PB=x，则RF=QE=PB=x，

DF=，

∴BD=PB+PR+RF+DF=，

解得x=．

方法三：如图4，

若点P在BC上运动，使点R与C重合，

由菱形的对称性知，O为PQ的中点，

∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线，

∴CO=PO，

∴∠OPC=∠OCP，

此时，Rt△PQR∽Rt△CBO，

∴PR：CO=PQ：BC，

即PR：3=6：5，

∴PR=

∴PB=BC﹣PR=．

【解析】

试题分析：（1）四边形ABCE是菱形．由平移得到四边形ABCE是平行四边形，又AB=BC，可以推出四边形ABCE是菱形；

（2）①四边形PQED的面积不发生变化．根据菱形的性质和已知条件可以求出菱形的面积，过A作AH⊥BD于H，再根据三角形的面积公式可以求出AH，由菱形的对称性知△PBO≌△QEO，所以BP=QE，现在可以得到，而△BED的面积可以求出，所以四边形PQED的面积不发生变化．

②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，即∠2=∠1，∴OP=OC=3，过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，根据相似三角形的对应线段成比例可以求出CG，而PB=BC﹣PC=BC﹣2CG，根据这个等式就可以求出BP的长．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质