Question

（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

①∠AEB的度数为     ；

②线段AD，BE之间的数量关系为       ；

（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请求出点A到BP的距离．

Answer

【解析】
（1）①60°．

②AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如图2，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）∵PD=1，

∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．

∵∠BPD=90°，

∴点P在以BD为直径的圆上．

∴点P是这两圆的交点．

①当点P在如图3①所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，

过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45°，CD=，∴BD=2．

∵DP=1，∴BP=．

∵A、P、D、B四点共圆，∴∠APB=∠ADB=45°．

∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形， AH⊥BP，

∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．

∴AH=．

②当点P在如图3②所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，

过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD．

∴AH=．

综上所述：点A到BP的距离为或．

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件易证△ACD≌△BCE，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可求∠AEB的度数．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，即可证出AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，故需对两个位置分别进行讨论．添加适当的辅助线，借助（2）中的结论即可解决问题．

考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线的性质；正方形的性质；圆周角定理．