Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结AP、CP，延长CP交AD于E，交BA的延长线于F．

（1）求证：∠DCP=∠DAP；

（2）若AB=2，DP:PB=1:2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．

Answer

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=AD，∠CDP=∠ADP．

∵DP=DP，

∴△CDP≌△ADP．

∴∠DCP=∠DAP．

（2）【解析】
∵CD∥BA，

∴△CDP∽△FPB．

∴．

∵CD=BA，

∴BA=AF．

∵PA⊥BF，

∴PB=PF．

∴∠PBA=∠PFA．

∴∠PCD=∠PDC．

∴PD =PC=PA．

∴BD=BP+PD．

∵，

∴．

在Rt△ABP中，，

∵AB=2，

∴，．

∴．

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDC=∠BDA，利用“边角边”证明△APD和△CPD全等，再根据全等三角形的对应边相等证明即可；（2）由CD∥BA， 可得△CDP∽△FPB，解直角三角形求出PB，再求出PD，根据BD=BP+PD计算即可．

考点：菱形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.