Question

如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC．

（1）求证：∠ACO=∠BCD．

（2）若BE=3，CD=8，求⊙O的直径．

Answer

证明：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，

∴CE=ED，

∴BCD=BAC.

∵OA=OC,

∴OAC=OCA .

∴ACO=BCD.

（2） ∵CD=8，

∴CE=ED=4，

在RtBCE中，.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=∠BEC=90°.

∵∠B=∠B，

∴△CBE∽△ABC．

∴．

∴

答：⊙O的直径为．

【解析】

试题分析：（1）根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出∠BCD=∠CAB，根据等腰三角形的性质得出∠CAB=∠ACO，即可得出答案；（2）根据垂径定理求出CE，根据勾股定理求出BC，证出△BCE和△BCA相似，即可得出比例式，代入计算即可求出答案．

考点：垂径定理；勾股定理；等腰三角形性质；相似三角形的性质和判定.