Question

已知二次函数， 在和时的函数值相等．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；

（3）设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向右平移个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围．

Answer

【解析】
（1）∵二次函数y＝(t+1)x2+2(t+2)x+

在x=0和x=2时的函数值相等，

∴对称轴x=-=1

即-=1

解得，t=-

则二次函数的解析式为：y=（-+1）x2+2（-+2）x+-

即y=-（x+1）（x-3）或y=-（x-1）2+2，

∴该函数图象的开口方向向下，且经过点（-1，0），（3，0），（0，），顶点坐标是（1，2）．其图象如图所示：

（2）∵二次函数的象经过点A（-3，m），

∴m=-（-3+1）（-3-3）=-6．

又∵一次函数y=kx+6的图象经过点A（-3，m），

∴m=-3k+6，即-6=-3k+6，

解得，k=4．

综上所述，m和k的值分别是-6、4．

（3）【解析】
由题意可知，点B、C间的部分图象的解析式是y=- x2+x+=--（x2-2x-3）=--（x-3）（x+1），-1≤x≤3，

则抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=-（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，

此时直线平移后的解析式是y=4x+6+n，

如果平移后的直线与平移后的二次函数相切，

则方程4x+6+n=-（x-3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，

即-- x2-（n+3）x- n2-=0有两个相等的实数解，

判别式△=[-（n+3）]2-4×（-）×（- n2--）=6n=0，

即n=0，

∵与已知n＞0相矛盾，

∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，

∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，

则两个临界的交点为（-n-1，0），（3-n，0），

则0=4（-n-1）+6+n，

n=,0=4（3-n）+6+n，

n=6，

即n的取值范围是：≤n≤6

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件知，该函数的对称轴方程为x=1，则- =1，据此易求t的值，

把t的值代入函数解析式即可；根据图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标画出图象；

（2）把点A的坐标代入二次函数解析式，利用方程可以求得m的值；然后把点A的坐标代入一次

函数解析式，也是利用方程来求k的值．

（3）求出点B、C间的部分图象的解析式是y=-（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，直线平移

后的解析式是y=4x+6+n，若两图象有一个交点时，得出方程4x+6+n=- （x-3+n）（x+1+n）有

两个相等的实数解，求出判别式△=6n=0，求出的n的值与已知n＞0相矛盾，得出平移后

的直线与抛物线有两个公共点，设两个临界的交点为（-n-1，0），（3-n，0），代入直

线的解析式，求出n的值，即可得出答案．

考点：用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的特点