Question

阅读下面的材料：

小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数的最大值．他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对进行分类讨论．他的解答过程如下：

∵二次函数的对称轴为直线，

∴由对称性可知，和时的函数值相等．

∴若1≤m＜5，则时，的最大值为2；

若m≥5，则时，的最大值为．

请你参考小明的思路，解答下列问题：

（1）当≤x≤4时，二次函数的最大值为_______；

（2）若p≤x≤2，求二次函数的最大值；

（3）若t≤x≤t+2时，二次函数的最大值为31，则的值为_______．

Answer

【解析】
（1）∵抛物线的对称轴为直线x=-1，

∴当-2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1=49；

（2）∵二次函数y=2x2+4x+1的对称轴为直线x=-1，

∴由对称性可知，当x=-4和x=2时函数值相等，

∴若p≤-4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，

若-4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；

（3）t＜-2时，最大值为：2t2+4t+1=31，

整理得，t2+2t-15=0，

解得t1=3（舍去），t2=-5，

t≥-2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，

整理得，（t+2）2+2（t+2）-15=0，

解得t1=1，t2=-7（舍去），

所以，t的值为1或-5．

【解析】

试题分析：（1）先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，然后确定当x=4时取得最大值，代入函数解

析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，再根据对称性可得x=-4和x=2

时函数值相等，然后分p≤-4，-4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t＜-2，t≥-2时两

种情况讨论求解．

考点：二次函数的最值