Question

（2014•张家口二模）已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线（只有圆规和三角板这两种工具）．以下是甲、乙两同学的作业：

甲：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；

②以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；

③作直线PM，则直线PM即为所求（如图1）．

乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P；

②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时直角顶点的位置为点M；

③作直线PM，则直线PM即为所求（如图2）．

对于两人的作业，下列说法正确的是（  ）

A.甲对，乙不对    B.甲不对，乙对    C.两人都对    D.两人都不对

Answer

C

【解析】

试题分析：（1）连接OM，OA，连接OP，作OP的垂直平分线l可得OA=MA=OP，进而得到∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，所以∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°，得出MP是⊙O的切线，

（2）直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，所以∠OMP=90°，得到MP是⊙O的切线．

证明：如图1连接OM，OA，

∵连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；

∴OA=OP，

∵以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；

∴OA=MA=OP，

∴∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，

∴∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°

∴OM⊥MP，

∴MP是⊙O的切线，

（2）如图2

∵直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，

∴∠OMP=90°，

∴MP是⊙O的切线．

故两位同学的作法都正确，

故选：C．