Question

（2014•涉县一模）如图，AD为⊙O直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：对于甲乙两人的作法，可判断（  ）

甲：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B．C两点．

②连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形

乙：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．

②连接AB，BC．△ABC即为所求三角形．

A.甲对，乙不对    B.甲不对，乙对    C.两人都对    D.两人都不对

Answer

C

【解析】

试题分析：甲的作法．连接DB、DC，由作图可知，DB=DO=DC，在⊙O中可知OB=OD=OC，故可得出△OBD和△OCD都是等边三角形，再根据=，=可知∠ODB=∠ACB=60°，∠ABC=∠ODC=60°，故可得出结论；

乙的作法，连接OB、OC．根据AD为⊙O的直径，BC是半径OD的垂直平分线，由垂径定理可知=，=，OE=OD=OC，所以AB=AC．在Rt△OEC中由锐角三角函数的定义可得出cos∠EOC的值，进而可求出∠EOC的度数，进而可得出结论．

【解析】
甲的作法．如图2；

证明：连接DB、DC．

由作图可知：

DB=DO=DC，

在⊙O中，

∴OB=OD=OC，

∴△OBD和△OCD都是等边三角形，

∴∠ODB=∠ODC=60°，

∵=，=，

∴∠ODB=∠ACB=60°，∠ABC=∠ODC=60°，

∴△ABC是等边三角形．

乙的作法如图1，

证明：连接OB、OC．

∵AD为⊙O的直径，BC是半径OD的垂直平分线，

∴=，=，OE=OD=OC，

∴AB=AC．

在Rt△OEC中，

∴cos∠EOC==，

∴∠EOC=60°，

∴∠BOC=120°．

∴∠BAC=60°．

∴△ABC是等边三角形．

故选：C．