Question

在正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，点H是直线BC上一点．将线段FH绕点F逆时针旋转90º，得到线段FK，连接EK．

（1）如图1，求证：EF＝FG，且EF⊥FG；

（2）如图2，若点H在线段BC的延长线上，猜想线段BH，EF，EK之间满足的数量关系，并证明你的结论．

（3）若点H在线段BC的反向延长线上，请在图3中补全图形并直接写出线段BH，EF，EK之间满足的数量关系．

Answer

（1）见解析；（2）BH＝EF＋EK；（3）BH＝EK－EF.

【解析】

试题分析：（1）根据题意得带△AEF和△BGF全等，从而得出∠AFE=∠BFG=45°，根据三角形内角和求出∠EFG=90°；（2）将线段FH绕点F逆时针旋转90º，得到线段FK，FH＝FK，∠HFK＝90°，根据直角的性质得到∠KFE＝∠HFG从而说明△EFK和△GFH全等，则EK=GH，根据△BFG为等腰直角三角形得到BG=FG，则BH=BG+GH=FG＋EK＝EF＋EK；（3）根据题意画出图形，然后根据（2）的方法求出结论.

试题解析：（1）证明：∵正方形ABCD，E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，

∴AE＝AF＝FB＝BG，∠A＝∠B＝90°，∴△AEF≌△BGF，

∴EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45°， ∴∠EFG＝180°－∠AFE－∠BFG＝90°，即EF⊥FG．

（2）BH＝EF＋EK；

证明：将线段FH绕点F逆时针旋转90º，得到线段FK，∴FH＝FK，∠HFK＝90°，∴∠KFE＋∠EFH＝90°，

∵∠EFG＝90°，∴∠HFG＋∠EFH＝90°，∴∠KFE＝∠HFG，

在△EFK和△GFH中，FK＝FH，∠KFE＝∠HFG，EF＝FG，∴△EFK≌△GFH，

∴EK＝GH．∵△BFG是等腰直角三角形，∴BG＝FG，

∴BH＝BG＋GH＝FG＋EK＝EF＋EK，即BH＝EF＋EK．

（3）补全图形如图；

BH＝EK－EF．

考点：三角形全等的证明及性质、等腰直角三角形的性质.