Question

已知关于的方程.

（1）求证：当时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与轴交于点C，且tan∠OAC＝4，求该二次函数的解析式；

（3）已知点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交（2）中的二次函数图象于点M，交一次函数的图象于点N．若只有当时，点M位于点N的下方，求一次函数的解析式．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用一元二次方程根的判别式进行说明；（2）首先用含k的代数表示A、B、C三点的坐标，然后根据tan∠OAC=4求出k的值，从而得出函数解析式；（3）根据图象求出交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式.

试题解析：（1）证明：∵＝，

又∵，∴，∴，即，

∴当时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）【解析】
∵与x轴交于A、B两点，

∴令，有， 解得 ，或．

∵，点A在点B的左侧， ∴A（1，0），B（，0）．

∵抛物线与y轴交于点C， ∴C（0，）．

在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝＝4， 解得．

∴抛物线的解析式为．

（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和5，由此可得交点坐标为（1，0）和（5，4）．

将交点坐标分别代入一次函数解析式中，得， 解得，

∴一次函数的解析式为．

考点：根的判别式、待定系数法求函数解析式.