Question

如图，AB为⊙O的直径，直线与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥于点D，交⊙O于点E．

（1）求证：∠CAD＝∠BAC；[（2）若sin∠BAC＝，BC＝6，求DE的长．

Answer

（1）见解析 （2）DE=

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据切线性质得到AD∥CD，则∠CAD=∠ACO，根据OC=OA得到∠ACO=∠OAC，从而说明∠CAD=∠BAC；（2）做BF⊥l，连接BE，根据直径所对的圆周角等于90°说明四边形DEBF为矩形，根据垂直的定义说明∠BCF=∠BAC，根据∠BAC的正弦值得出BF的长度，从而得出DE的长度.

试题解析：（1）证明：连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO．又∵OC＝OA，

∴∠ACO＝∠OAC，∴∠CAD＝∠OAC，即∠CAD＝∠BAC．

（2）过点B作BF⊥于点F，连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，

又AD⊥于点D，∴∠AEB＝∠ADF＝∠BFD＝90°，∴四边形DEBF是矩形，

∴DE＝BF． ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCF＝90°．∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，

∴∠BCF＝∠CAD． ∵∠CAD＝∠BAC， ∴∠BCF＝∠BAC．

在Rt△BCF中，BC＝6， sin∠BCF＝＝sin∠BAC＝，

∴BF＝＝ ∴DE＝BF＝．

考点：切线的性质、平行线的性质、矩形的性质、锐角三角函数的应用.