Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），sin∠CAB=, E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连结CE.

（1）求AC和OA的长；

（2）设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此 时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）AC=10；OA=6；（2）S=－＋4m；（3）E（－2,0）；△BCE为等腰三角形.

【解析】

试题分析：（1）根据点坐标求出OB和OC的长度，根据∠CAB的正弦值求出AC，根据△AOC的勾股定理求出OA；（3）根据相似求出EF与m的关系，根据∠EFG的正弦值求出FG与m的关系，然后根据S=△BCE的面积减去△BFE的面积进行计算；（3）根据二次函数的最值问题求出点E的坐标，然后进行判定.

试题解析：（1）∵点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）， ∴OB＝2， OC＝8.

在Rt△AOC中，sin∠CAB== ∴ AC＝10 ∴

（2）依题意，AE＝m，则BE＝8－m. ∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC. ∴＝ . 即 ＝.

∴EF＝.

过点F作FG⊥AB，垂足为G. 则sin∠FEG＝sin∠CAB＝.

∴＝. ∴FG＝＝8－m.

∴S＝＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝－＋4m.

自变量m的取值范围是0＜m＜8.

（3） S存在最大值． ∵S＝－＋4m＝+8，且－＜0，

∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8

∵m＝4， ∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形．

考点：相似三角形的应用、二次函数的应用.