Question

如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E，F，且∠EDF与∠A互补．

（1）如图1，若AB=AC，且∠A=90°，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；

（2）如图2，若AB=AC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若AB：AC=m：n，探索线段DE与DF的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）DE=DF （2）DE=DF 理由略 （3）DE：DF=n：m

【解析】

试题分析：（1）DE=DF；（2）分别过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，根据等于三角形的底边上的中线性质可得DM=DN，根据角度之间的关系可得∠1=∠2，从而得出△DEM和△DFN全等；（3）同（2）的方法得出△DEM和△DFN相似，然后根据△ABD和△ACD的面积相等进行求解.

试题解析：（1）结论：DE=DF

（2）DE=DF依然成立．

过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD， 则∠EMD=∠FND=90°．

∵AB=AC，点D为BC中点， ∴AD平分∠BAC． ∴DM=DN．

∵在四边形AMDN中.，∠DMA=∠DNA=90°．∴∠MAN+∠MDN=180°，

又∵∠EDF与∠MAN互补， ∴∠MDN=∠EDF，

∴∠1=∠2， ∴△DEM≌△DFN（ASA）． ∴DE=DF．

（3）结论DE：DF=n：m．

过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，

同（2）可证∠1=∠2，又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△DEM∽△DFN ∴．

∵点E为AC的中点， ∴S△ABD=S△ADC．

∴， ∴， 又∵， ∴．

考点：三角形全等和相似的判定.