Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切， AD∥BC，连结OD，AC．

（1）求证：∠B=∠DCA；   

（2）若tan B=，OD=， 求⊙O的半径长．

Answer

（1）见解析；（2）r=3.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质可得∠2+∠3=90°，根据直径所对的圆周角为直角可得∠1+∠B=90°，根据OA=OC可得∠1=∠2，从而得出∠3=∠B；（2）根据角度的关系得出△ABC和△DCA相似，根据∠B的正切值，设AC=k，可以得到BC，AB与k的关系，根据Rt△OCD的勾股定理求出k的值.

试题解析：（1）证明：连结OC．

∵CD与⊙O相切，OC为半径， ∴∠2+∠3=90° ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，

∴∠1+∠B=90°， 又∵OA=OC， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠B．

（2） ∵AD∥BC，AB是⊙O的直径， ∴∠DAC=∠ACB=90°， ∵∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠2，

∴∠B=∠3，∴△ABC∽△DCA ∴ ∴∠B的正切值为 设AC=k，BC=2k 则AB=3k

∴ ∴DC= 在△ODC中，OD=3 OC=k ∴

∴解得：k=2 ∴⊙O的半径长为3

考点：切线的性质、三角形相似的应用、勾股定理.