Question

如图1，平面直角坐标系中，点，OC=8，若抛物线平移后经过C，D两点，得到图1中的抛物线W．

（1）求抛物线W的表达式及抛物线W与轴另一个交点的坐标；

（2）如图2，以OA，OC为边作矩形OABC，连结OB，若矩形OABC从O点出发沿射线OB方向匀速运动，速度为每秒1个单位得到矩形，求当点落在抛物线W上时矩形的运动时间；

（3）在（2）的条件下，如图3，矩形从O点出发的同时，点P从出发沿矩形的边以每秒个单位的速度匀速运动，当点P到达时，矩形和点P同时停止运动，设运动时间为秒．

①请用含的代数式表示点P的坐标；

②已知：点P在边上运动时所经过的路径是一条线段，求点P在边上运动多少秒时，点D到CP的距离最大．

Answer

（1），6，0）；（2）；（3）①∴当时，，当时，；②．

【解析】

试题分析：（1）先得到C的坐标，再把D、C的坐标代入平移后的解析式即可，令y=0，可以得到和x轴的另一交点的坐标；

（2）经过t秒后，点的坐标为：，将代入，即可求出落在抛物线上的时间；

（3）① 设，分两种情况讨论：(I)当时，即点P在边上，(II)当时，即点P在边上（不包含点），

②当点在运动时，，可以求出点P所经过的路径所在函数解析式，还可以求出直线解析式为：，得到DC∥AP，从而有△DCP面积为定值．当CP取得最小值时，点D到CP的距离最大，即当CP⊥AP时，CP取得最小值．

试题解析：（1）依题意得： ，，∴抛物线的解析式为：，另一交点为（6，0）；

（2）依题意：在运动过程中，经过t秒后，点的坐标为：，将代入，舍去负值得：，经过秒落在抛物线上；

（3）① 设，

(I)当时，即点P在边上，，，∴，；

(II)当时，即点P在边上（不包含点）， ， ，∴，，

综上所述：∴当时，，当时，，

②当点在运动时，，点P所经过的路径所在函数解析式为：，又∵直线解析式为：，∴DC∥AP，∴△DCP面积为定值．∴CP取得最小值时，点D到CP的距离最大，如图，当CP⊥AP时，CP取得最小值，过点P作PM⊥y轴于点M，∴∠PMC=90°，∵，∴，，∵∠DCO+∠PCM=90°，∠CPM+∠PCM=90°，∴，∴，在Rt△PMC中，∠PMC=90°，∴， ∴，检验：，∴经过秒时，点D到CP的距离最大．

考点：二次函数综合题．