Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．

（1）求∠ADE的度数；

（2）如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角（），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E₁DF₁，∠E₂DF₂ ， DE₁交直线AC于点P，DF₁交直线BC于点Q，DE₂交直线AC于点M，DF₂交直线BC于点N，求的值；

（3）若图1中∠B=，（2）中的其余条件不变，判断的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含的式子表示）；如果不是，请说明理由．

Answer

（1）30°；（2）；（3）是定值，值为．

【解析】

试题分析：（1）由D为AB的中点，得到CD=DB，∠DCB=∠B，进一步得到∠DCB=∠B=∠CDB=60°，可以求得∠ADE=30°；

（2）先证△PMD∽△QND，过点D分别做DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，可得，再证四边形CGDH 为矩形，得到CG=DH=AG，故有，即；

（3）是定值，值为．

试题解析：（1）∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=DB，∴∠DCB=∠B，∵∠B=60°，∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°，∴∠CDA=120°，∵∠EDC=90°，∴∠ADE=30°；

（2）∵∠C=90°，∠MDN=90°，∴∠DMC+∠CND=180°，∵∠DMC+∠PMD=180°，∴∠CND=∠PMD，同理∠CPD=∠DQN，∴△PMD∽△QND，过点D分别做DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，可知DG， DH分别为△PMD和△QND的高，∴，∵DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，∴DG ∥BC，∵D为AC中点，∴G为AC中点，∵∠C=90°，∴四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG，Rt△AGD中，，即；

（3）是定值，值为．

考点：相似三角形综合题．