Question

阅读下面材料：

（1）小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；

小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF//AD且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠APE的度数为___________________．

参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：

（2）如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．

Answer

（1）45°；（2）．

【解析】

试题分析：（1）证明△AEF≌△CBE，得到△EFB是等腰直角三角形，得到∠APE=∠EBF=45°；

（2）过点B作FB//AD且FB=AD，连结EF和AF，得到AFBD是平行四边形，∠APE=∠FBE，AF=DB，由△AEF∽△CBE，得到，∠1=∠3，再证明∠FEB=90°，在Rt△BEF中，由tan∠FBE=和∠APE=∠FBE，得到sin∠APE的值．

试题解析：(1) ∠APE=45°；

(2) 过点B作FB//AD且FB=AD，连结EF和AF，∴四边形AFBD是平行四边形，∠APE=∠FBE，AF=DB，∵AB是⊙O直径，∴∠C=90°，∴∠FAE=∠BCE=90°，∵CE=2BD，BC=2AE，∴CE=2AF，∴，∴△AEF∽△CBE，∴，∠1=∠3，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，即∠FEB=90°，在Rt△BEF中，∠FEB=90°∴tan∠FBE=，又∵∠APE=∠FBE，∴sin∠APE=．

考点：圆的综合题．