Question

已知：如图，Rt△AOB中，∠O=90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O 于点C，连接AC交OB于点P．

（1）求证：BP=BC；

（2）若sin∠PAO=，且PC=7，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：(1) 连接OC，证明∠BPC=∠BCA即可；

（2）延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，由sin∠PAO=，设OP=x，则AP=3x，AO=， OE=， AE=，由，得到，得到，解出x，得到AO的长．

试题解析：(1)证明：连接OC， BC是⊙O切线，∴∠OCB=90°，∴∠OCA+∠BCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠O=90°，∴∠OAC+∠APO=90°，∵∠APO=∠BPC，∴∠OAC+∠BPC=90°，∴∠B[PC=∠BCA，∴BC=BP；

(2) 延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO=，设OP=x，则AP=3x，AO=，∵AO=OE，∴OE=，∴AE=，∵sin∠PAO=，∴，∴，∴，解得：，∴AO=．

考点：1．切线的性质；2．解直角三角形．