Question

我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角．如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C对线段AB的视角．

如图2，在平面直角坐标系中，已知点D（0，4），E（0，1）．

（1）⊙P为过D，E两点的圆， F为⊙P上异于点D，E的一点．

①如果DE为⊙P的直径，那么点F对线段DE的视角∠DFE为_________度；

②如果⊙P的半径为 ，那么点F对线段DE的视角∠DFE为_________度；

（2）点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段DE的视角∠DGE最大时，求点G的坐标．

Answer

（1）①90°；②60°或120°；（2）G（2，0）．

【解析】

试题分析：（1）①由直径所对的圆周角为90°，即可得出结论；

②过P作PH⊥DE于H，则HE=1.5，在Rt△EPH中，由勾股定理得到PH=，从而得出∠HPE=60°，故有∠DPE=120°，由此有∠DFE=60°或120°；

（2）如图，当⊙P与x轴相切，G为切点时，∠DGE最大．由题意知，点P在线段ED的垂直平分线上，过点P作PH⊥DE于点H， 则EH=DE=1.5，可以得到四边形PHOG为矩形．在Rt△PEH中，由勾股定理得到PH．由PG=PH，得到点G的坐标．

试题解析：（1）①90°；

②60°或120°；

（2）如图，当⊙P与x轴相切，G为切点时，∠DGE最大．由题意知，点P在线段ED的垂直平分线上，∴PG＝2.5．过点P作PH⊥DE于点H， ∴EH=DE=1.5．∵PG⊥x轴，∴四边形PHOG为矩形．联结PE，在Rt△PEH中，PE＝PG＝2.5，EH＝1.5，∴PH＝2．所以点G（2，0）．

考点：圆的综合题．