Question

如图，PB切于点B，联结PO并延长交于点E，过点B作BA⊥PE交于点A，联结AP，AE．

（1）求证：PA是的切线；

（2）如果OD＝3，tan∠AEP＝，求的半径．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）5．

【解析】

试题分析：（1）连接OA、OB，根据垂径定理得出AB⊥OP，推出AP=BP，∠APO=∠BPO，证△PAO≌△PBO，推出∠PBO=∠PAO=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）在Rt△ADE中，由tan∠AEP＝＝，设AD＝x，DE＝2x，则OE＝2x—3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得．解出x，则可以求出⊙O的半径的长．

试题解析：（1）证明：如图，联结OA，OB ．∵PB是⊙O的切线，∴ ∠PBO＝90°．∵ OA＝OB，BA⊥PE于点D，∴ ∠POA＝∠POB．又∵ PO＝PO，∴ △PAO≌△PBO．∴ ∠PAO＝∠PBO＝90°．∴PA⊥OA．∴ 直线PA为⊙O的切线；

（2）在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∵tan∠AEP＝＝，∴设AD＝x，DE＝2x，∴OE＝2x—3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得．解得，，（不合题意，舍去）．∴ AD＝4，OA＝OE＝2x－3＝5．即⊙O的半径的长5．

考点：切线的判定与性质．