Question

如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，-3），其顶点为D，对称轴为直线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形△EFG，将△EFG与△BCD重叠部分的面积记为S，用含m的代数式表示S．

Answer

（1）；（2）M的坐标为，，；（3）．

【解析】

试题分析：（1）抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），对称轴为直线，得到抛物线与x轴的另一个交点为B（3，0），把A、B、C的坐标代入抛物线，即可得到抛物线的解析式；

（2）①当AC=AM时C、M关于x轴对称，得到M；

②当AC=CM时，AC=，以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M或M；

（3）分别求出直线BC、BD的解析式，分两段计算重叠的面积：①，②．

试题解析：（1）由题意可知，抛物线与x轴的另一个交点为B（3，0），

则，，解得，故抛物线的解析式为：；

（2）①当AC=AM时C、M关于x轴对称，得到M；

②当AC=CM时，AC=，以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M或M；

所以，点M的坐标为，，；

（3）记平移后的三角形为△EFG．设直线BC的解析式为y=kx+b，则：，解得：，则直线BC的解析式为，△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△EFG，易得直线FG的解析式为．设直线BD的解析式为y=k′x+b′，则：，解得，

则直线BD的解析式为，连结CG，直线CG交BD于H，则H（，-3）．

在△OBC沿x轴向右平移的过程中，

①当时，如图1所示．

设EG交BC于点P，GF交BD于点Q，则CG=BF=m，BE=PE=3﹣m，联立，解得，即点Q（3﹣m，-2m），

==

②当时，如图2所示．

设EG交BC于点P，交BD于点N，则OE=m，BE=PE=3﹣m，又因为直线BD的解析式为，所以当x=m时，得y=2m﹣6，所以点N（m，2m-6）．

===，

综上所述，．

考点：二次函数综合题．