Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．

（1）证明：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OD⊥DE，进而得出答案；

（2）得出△BCD∽△ACB，进而利用相似三角形的性质得出CD的长．

试题解析：（1）连接OD．∵OA=OD，∴∠ODA=∠A，又∵∠BDE=∠A，∴∠ODA=∠BDE，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°，即∠ODA+∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODB=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；

（2）∵R=5，∴AB=10，在Rt△ABC中，∵tanA=，∴BC= AB·tanA=10×=，∴AC=，∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ACB，

∴，∴．

考点：1．切线的判定；2．勾股定理；3．相似三角形的判定与性质．