Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交轴

于两点，点在⊙上．

（1）求出两点的坐标；

（2）试确定经过A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；

（3）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）， （2）或 （3）存在使线段与互相平分

【解析】

试题分析：（1）作轴，为垂足，连接CB，根据C点的坐标及圆的半径可求得HB=，从而根据坐标的特点求出A、B的坐标；

（2）根据圆的对称性（垂径定理）和抛物线的对称性可求得P点的坐标（1,3）（1，-1），分别设出顶点式，然后代入A、B点的坐标即可求得解析式；

（3）根据题意假设存在D点，则由题意知四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得PC=OD，且PC∥OD，又由图形可知PC∥y轴，判断出D在y轴上，因此可由PC=2可求得OD=2，因此可得D点的坐标，代入二次函数的解析式可判断存在这样的点D（0,2）.

试题解析：【解析】
（1）作轴，为垂足，连接CB.

，半径

，

故，

（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点的坐标为或（1，），

设抛物线表达式，

把点代入上式，解得

．

设抛物线解析式,

把点代入上式，解得a=,

．

（3）假设存在点使线段与互相平分，

则四边形是平行四边形

且．

轴，

点在轴上．

又，

，

即或（0，-2）．

（0，2）满足，

（0，-2）不满足,

点（0，2）在抛物线上．

所以存在使线段与互相平分．

考点：待定系数法，二次函数的图像与性质，平行四边形的性质