Question

如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F.

（1）求证：CE=CF；

（2）求线段EF的最小值；

（3）当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积的大小是           ．

Answer

（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）如图1，设AC交于点DE交于点G，DF交BC于H点，根据点的对称可得EG=DG，且ED⊥AC，再根据DF⊥DE以及AB为半圆直径可证得四边形DGCH为矩形，因此可得CH=DG=EG，CH∥ED，再根据ASA证得△EGC≌△CHF，进而得证；

（2）如图2，连接CD，则CD=CE，由（1）知EF=2CD，因此可判断当线段EF最小时，线段CD也最小，根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小，根据直径对的圆周角是直角可知∠ACB=90°，再由AB=8，∠CBA=30°，可求得AC=4，BC=，而当CD⊥AD时，CD=BC=2，再根据EF=2CD=;

（3）当点D从点A运动到点B时，如图3，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，结合（2）可知S△ABC=AC.BC=，因此可求阴影部分的面积.

试题解析：

【解析】
（1）证明：如图1，设AC交于点DE交于点G，DF交BC于H点，

∵点E与点D关于AC对称

∴EG=DG，且ED⊥AC，

∵ DF⊥DE，

∴∠EGC=∠DGC=∠EDF=90°，

∵AB为半圆直径，

∴∠ACB=90°.

∴四边形DGCH为矩形.

∴CH=DG=EG，CH∥ED.

∴E=FCH，EGC=CHF.

∴△EGC≌△CHF.

∴EC=FC；

【解析】
如图2，连接CD，则CD=CE.

由（1）知，EF=2CD，

∴当线段EF最小时，线段CD也最小，

根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小

∵AB是半圆O 的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB=8，∠CBA=30°，

∴AC=4，BC=，

当CD⊥AD时，CD=BC=，

此时EF=2CD=，

即EF的最小值为；

【解析】
当点D从点A运动到点B时，如图3，

EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，

由（2）知，AC=4，BC=，

∴

∴线段EF扫过的面积是.

考点：圆周角的性质，等腰三角形，三角形全等，垂线段的性质