Question

已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．

（1）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

（2）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

Answer

（1）（2）没有变化

【解析】

试题分析：（1）先根据正方形的面积证出边长，然后根据相似三角形的判定得证△BGE∽△ABE，进而得出相似比和面积比，再根据勾股定理求得AE的长，求得△ABE的面积，根据面积的比求出△BGE的面积；

先根据正方形的面积求得边长，再由BE与AB的长求得∠BAE=30°，再根据据旋转变换的

∠B′AE′=30°，然后根据全等三角形判定SAS得出Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，因此∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，且AE与AB′在同一直线上，然后根据ASA得证△BAG≌△HAG，从而得证结果.

试题解析：（1）【解析】
∵正方形面积为3，

∴AB=

在△BGE与△ABE中，

∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，

∴△BGE∽△ABE

∴

又∵BE=1，

∴AE2=AB2+BE2=3+1=4

∴

【解析】
没有变化。理由如下：

∵AB=，BE=1，

∴

∴∠BAE=30°

∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′，

∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，

∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°

∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G

设BF与AE′的交点为H，

则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG，

∴△BAG≌△HAG。

∴

∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化

考点：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积