Question

在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线过点A和点C （4，0） ．

（1）求该抛物线的表达式．

（2）连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判断点D是否在该抛物线上，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线交于点E，以DE为直径画⊙M，

①求圆心M的坐标；

②若直线AP与⊙M相切，P为切点，直接写出点P的坐标．

Answer

（1）；（2）在，理由见试题解析；（3）①M（0，7）；②P（－4，4）或P（3，3）．

【解析】

试题分析：（1）求出A、B的坐标，然后代入抛物线的解析式即可；

（2）过点D作DF垂直x轴于点F，由△CDF∽△CBO得到D的坐标，代入抛物线进行检验；

（3）①先求出E的坐标，设DE与y轴的交点为M′，证明M′就是圆心M，得出M的坐标；

②设P(x，y)，则直线PA⊥MA，且MA=5，因为两条直线垂直，它们的k相乘为－1以及两点间距离公式，得到方程组，解方程组即可得到P的坐标．

试题解析：（1）依题意，可知 A（－1， 0），B（0，2），抛物线经过点A，C (4，0) 所以有，解得 ，∴；

（2）点D在该抛物线上．依题意，可得BO=2，CO=4．过点D作DF垂直x轴于点F，∴△CDF∽△CBO，∴，∴DF=4，OF= CF－ OC = 4，∴ D（－4，4）．∵，∴点D在该抛物线上；

（3）①由题意可知E（4，10），设DE与y轴的交点为M′，∵M′B∥EC，∴，∴D M′=EM′，∴M′ 即⊙M的圆心M，∴，∴M（0，7）．

②设P(x，y)，则直线PA⊥MA，且MA=5，∵直线PA⊥MA，∴，解得：，，∴P（－4，4）或P（3，3）．

考点：二次函数综合题．