Question

△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α （0°＜α ≤90°） ，点F，G，P分别是DE，BC，CD的中点，连接PF，PG．

（1）如图①，α=90°，点D在AB上，则∠FPG=          °；

（2）如图②，α=60°，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；

（3）连接FG，若AB=5， AD=2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，当PF的长最大时，FG的长为          （用含α的式子表示）．

Answer

（1）90°；（2）120°，证明见试题解析；（3）（也可以写成）．

【解析】

试题分析：（1）由AB=AC、AD=AE，得BD=CE，再根据G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，可得出PG∥BD，PF∥CE．则∠GPF=180°﹣∠α=90°；

（2）连接BD，连接CE，由已知可证明△ABD≌△ACE，则∠ABD=∠ACE．因为G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，则PG∥BD，PF∥CE．进而得出∠GPF=180°﹣∠α=120°；

（3）当D在BA的延长线上时，CE=BD最长，此时BD=AB+AD=5+2=7，再由三角形中位线定理即可算出PG=3．5，在Rt△GPH中，由三角函数的定义即可求出GH，进一步求出FG．

试题解析：（1）∵AB=AC、AD=AE，∴BD=CE，∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=90°，即∠GPF=90°；

（2）∠FPG=120°；理由：连接BD，连接CE．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=120°，即∠GPF==120°；

（3）连结BD，CE，过P作PH⊥FG于H，由（2）可知，△ABD≌△ACE，∴BD=CE，且PG=PF=BD，当D在BA的延长线上时，CE最长，即BD最长，此时BD=AB+AD=5+2=7，∴PG=3.5，∵PF=PG，PH⊥FG，∴∠GPH=∠FPG=（180°﹣∠α）=90°﹣α，FG=2HG，∴FG=2HG=2PG•sin∠GPH=2×3.5×=．

考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰三角形的性质；4．等边三角形的性质．