Question

如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC=2∠CAF；

（2）若AC=，CE：EB=1：4，求CE，AF的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）CE=2，AF=．

【解析】

试题分析：（1）连接BD，由直径所对的圆周角是90°，得到BD⊥AC，由AB=BC，得到BD平分∠ABC，再由切线的性质，可以得出结论；

（2）连接AE，设CE= x，则EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．在Rt△ACE中，根据勾股定理可以算出x的值，根据，即可算出AF的长．

试题解析：（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB=90°．即∠DAB +∠CAF =90°．∴∠CAF=∠ABD．∵BA=BC，∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD．∴∠ABC=2∠CAF．

（2）【解析】
如图，连接AE．∴∠AEB=90°．设CE= x，∵CE：EB=1：4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．在Rt△ACE中，．即．∴x =2．∴CE=2．∴EB=8，BA=BC=10，AE=6．∵．∴．∴AF=．

考点：1．切线的判定；2．勾股定理．