Question

如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．连接BD交AE于M，连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF．

（1）如图1，求证：BD⊥CE；

（2）如图1，求证：FA是∠CFD的平分线；

（3）如图2，当AC=2，∠BCE=15°时，求CF的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）证明△CAE≌△BAD即可；

（2）作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K，由△CAE ≌△BAD，可以得到∠BFN=∠NAC=90°，即可得到BD⊥CE；

（3）先求出∠ACN =30°，再由含30°角的直角三角形的性质可以求出CF的长．

试题解析：（1）如图1

∵ ∠BAC =∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE，∴ ∠CAE=∠BAD，在△CAE和△BAD中，

∴ △CAE≌△BAD．∴ ∠ACF=∠ABD，∵ ∠ANC=∠BNF，∴ ∠BFN=∠NAC=90°，∴ BD⊥CE；

（2）如图1，

作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K，由（1）知 △CAE ≌△BAD，∴ CE = BD，S△CAE =S△BAD ．∴ AG = AK，∴ 点A在∠CFD的平分线上．即 FA是∠CFD的平分线；

（3）如图2

∵ ∠BAC = 90°，AB =AC，∴ ∠ACB=∠ABC =45°，∵ ∠BCE=15°，∴∠ACN =∠ACB-∠BCE= 30°=∠FBN，在Rt△ACN中，∵ ∠NAC = 90°，AC=2，∠ACN = 30°，∴AN=，CN=．∵ AB=AC=2，∴ BN=．在Rt△ACN中，∵ ∠BFN = 90°，∠FBN = 30°，∴ NF=BN=，∴ CF=CN+NF=．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．含30度角的直角三角形．