Question

已知，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，且∠EDF＝45°．

（1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形；

（2）猜想tan∠ADF的值，并写出求解过程．

Answer

（1）作图见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意画出图形，进一步作出辅助线，利用三角形全等，勾股定理，以及正方形的性质解决问题即可．

（2）在BA的延长线上截取AG=CE，连接DG，证得△AGD ≌ △CED和△GDF≌△EDF得出结论．

试题解析：（1）如图1．

（2）猜想tan∠ADF的值为，求解过程如下：如图2．

在BA的延长线上截取AG=CE，连接DG，∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD=CD=BC=AB=6，∠AF=∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°，∴ ∠GAD = 90°，∴ △AGD ≌ △CED，∴ ∠GDA=∠EDC ，GD=ED，AG=CE，∵ ∠FDE=45°，∴ ∠ADF+∠EDC=45°，∴ ∠ADF+∠GDA =45°，∴ ∠GDF=∠EDF ，∵ DF = DF，∴ △GDF≌△EDF ．∴ GF =EF，设AF=x， 则FB=6-x，∵ 点E为BC的中点，∴ BE=EC=3，∴ AG=3，∴ FG=EF=3+x，在Rt△BEF中，∠B =90°，由勾股定理，得 ，∴ ，∴ x=2，∴ AF=2．∴ 在Rt△ADF中，tan∠ADF=．

考点：1．正方形的性质；2．勾股定理．