Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D两点的⊙O交AB 于点E，交BC于点F， EB为⊙O的直径．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）当BC=2，cos∠ABC=时，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连结OD，可证得OD∥BC，得到∠ADO=∠C=90°，从而得出结论；

（2）由cos∠ABC=，得到AB=6，由△AOD∽△ABC，得到圆的半径．

试题解析：（1）证明：如图，连结OD，∴OD=OB，∴∠1=∠2，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3．∴OD∥BC，∴∠ADO=∠C=90°，∴OD⊥AC，∵OD是⊙O的半径，∴ AC是⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=2 ， cos∠ABC ，∴ ．设⊙O的半径为，则AO=6－r，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴ ，∴ ，解得 ，∴ ⊙O的半径为．

考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．