Question

（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． 证明：DE=BD+CE．

如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

Answer

（1）详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3）△DEF是等边三角形.

【解析】

试题分析：（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；

（2）与（1）的证明方法一样；

（3）与前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．

试题解析：（1）证明： ∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE，

在△ABD和△CAE中，

∠BDA＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE，AB＝AC，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，CE=DA，

∴DE=AE+DA=BD+CE；

（2）【解析】
成立，证明如下：

∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，

∴∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，

∴∠DBA=∠CAE，

在△ABD和△CAE中，

∠BDA＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE，AB＝AC，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，CE=DA，

∴DE=AE+DA=BD+CE．

△DEF为等边三角形，理由如下：

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，

∴BF=AF=AB=AC=CF，

∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，

∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，

∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，

∴∠DBA=∠CAE．

在△BAD和△ACE中，

∠BDA＝∠AEC，∠DBA＝∠CAE，BA＝AC，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．

∵∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF=∠FAE．

在△BDF和△AEF中，

FB＝FA，∠DBF＝∠FAE，BD＝AE，

∴△DBF≌△EAF（SAS），

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，

∴△DEF为等边三角形．

考点：1、全等三角形的判定和性质；2、等边三角形的判定.