Question

如图，△ABC的边BC在直线m上，AC⊥BC，且AC＝BC，△DEF的边FE也在直线m上，边DF与边AC重合，且DF＝EF．

（1）在图（1）中，请你通过观察、思考、猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）

（2）将△DEF沿直线m向左平移到图（2）的位置时，DE交AC于点G，连接AE，BG．猜想BG、AE有什么数量和位置关系？请证明你的猜想．

Answer

【解析】

试题分析：（1）根据图形就可以猜想出结论．

（2）要证BG=AE，可以转化为证明Rt△BCG≌Rt△ACE；要证明BG⊥AE，可以证明∠GMA=90°，只要证出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可证出．

试题解析：（1）AB＝AE，AB⊥AE．

（2）BG=AE；BG⊥AE．理由如下：

证明：由已知，得DF=EF，EF⊥DF，

∴∠DEF=45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CGE=∠CEG=45°．

∴CG=CE．

∵在Rt△BCG和Rt△ACE中，

BC=AC，∠BCG=∠ACE=90°，CG=CE，

∴△BCG≌△ACE（SAS），

∴BQ=AP．

如图，延长BQ交AE于点M．

∵Rt△BCG≌Rt△ACE，

∴∠1=∠2．

∵在Rt△BCG中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，

∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．

∴∠GMA=90°．

∴BG⊥AE．

考点：三角形全等的判定和性质．