Question

已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）点O在∠BAC的角平分线上，理由详见解析．

【解析】

试题分析：（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；

（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．

试题解析：（1）证明：∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC=∠BDC=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）【解析】
点O在∠BAC的角平分线上．理由：连接AO并延长交BC于F，

∵AB=AC，OB=OC，

又∵OA=OA，△AOB≌△AOC．

∴∠BAF=∠CAF，

∴点O在∠BAC的角平分线上．

考点：1、全等三角形的判定和性质；2、等腰三角形的判定；3、角平分线的判定．