Question

如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足 。

（1）求A、B两点的坐标；

（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥ BD于 F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；

（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．

Answer

（1）A（4，0），B（0，4）；（2）证明见解析；（3）无论P点怎么动OQ的长不变．

【解析】

试题分析：①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b的方程，解方程组即可求出a，b的值，也就能写出A，B的坐标；

②作出∠AOB的平分线，通过证△BOG≌△OAE得到其对应角相等解决问题；

③过M作x轴的垂线，通过证明△PBO≌△MPN得出MN=AN，转化到等腰直角三角形中去就很好解决了．

试题解析：①∵

∴a=4，b=4，

∴A（4，0），B（0，4）；

（2）证：作∠AOB的角平分线，交BD于G，

∴∠BOG=∠OAE=45°，OB=OA，

∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF，

∴△BOG≌△OAE，

∴OG=AE．

∵∠GOD=∠EAD=45°，OD=AD，

∴△GOD≌△EDA．

∴∠GDO=∠ADE．

（3）过M作MN⊥x轴，垂足为N．

∵∠BPM=90°，

∴∠BPO+∠MPN=90°．

∵∠AOB=∠MNP=90°，

∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN．

∵BP=MP，

∴△PBO≌△MPN，

MN=OP，PN=AO=BO，

OP=OA+AP=PN+AP=AN，

∴MN=AN，∠MAN=45°．

∵∠BAO=45°，

∴∠BAO+∠OAQ=90°

∴△BAQ是等腰直角三角形．

∴OB=OQ=4．

∴无论P点怎么动OQ的长不变．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.非负数的性质：绝对值；3.非负数的性质：算术平方根．