Question

如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．

（1）求证：△ABD≌△GCA；

（2）请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）△ADG是等腰直角三角形．证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由于BE、CF分别是AC、AB两边上的高，那么可知∠AFC=∠AEB=90°，再利用等角的余角相等，可得∠ACG=∠DBA，再加上BD=CA，AB=GC，利用SAS可证△ABD≌△GCA；

（2）△ADG是等腰三角形，利用（1）中的全等，可得AG=AD，那么△ADG是等腰直角三角形．

试题解析：（1）∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，

∴∠AFC=∠AEB=90°（垂直定义），

∴∠ACG=∠DBA（同角的余角相等），

又∵BD=CA，AB=GC，

∴△ABD≌△GCA；

（2）连接DG，则△ADG是等腰直角三角形．

证明如下：

∵△ABD≌△GCA，

∴AG=AD，∠AGC=∠DAB，

∵∠CGA+∠GAF=90°，

∴∠GAF+∠BAD=90°，

∴△ADG是等腰直角三角形．

考点：全等三角形的判定．