Question

如图，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA。

（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请直接写出关系式             。

（2）如图，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请你给出结论并加以证明。

Answer

（1）AD+BE=AB；（2）AD=BE+AB．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）如图1，延长AC交BE于Q，构建等腰△ABQ，则AB=BQ，根据等腰三角形性质求出AC=CQ，然后由平行线分线段成比例推知AD=EQ，即可得出答案．

（2）如图2，延长AC交BE于Q，证法同（1），结论是AD=BE+AB．

试题解析：（1）证明：如图1，延长AC交BE于Q，

∵AC平分∠MAB，

∴∠1=∠2，

∵AM∥BN，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=BQ，

∵BC平分∠ABQ，

∴AC=CQ．

∵AM∥BN，

∴，

∴AD=EQ，

∴AD+BE=AB；

（2）AD=BE+AB．理由如下：

如图2，延长AC交BE于Q，

∵AC平分∠MAB，

∴∠1=∠2，

∵AM∥BN，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=BQ，

∵BC平分∠ABQ，

∴AC=CQ．

∵AM∥BN，

∴，

∴AD=EQ，

∴EQ=BE+BQ=BE+AB，即

∴AD=BE+AB．

考点：全等三角形的判定与性质．