Question

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC于M，连CD，下列结论：①AC+CE=AB；②BD=AE；③∠CDA=45°；④为定值，其中正确的有（    ）个。

A、1    B、2     C、3     D、4

Answer

D．

【解析】

试题分析：过E作EQ⊥AB于Q，

∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，

∴CE=EQ，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB=45°，

∵EQ⊥AB，

∴∠EQA=∠EQB=90°，

由勾股定理得：AC=AQ，

∴∠QEB=45°=∠CBA，

∴EQ=BQ，

∴AB=AQ+BQ=AC+CE，∴①正确；

作∠ACN=∠BCD，交AD于N，

∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD，

∴∠DBA=90°-22.5°=67.5°，

∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD，

∴∠DBC=∠CAD，

∵AC=BC，∠ACN=∠DCB，

∴△ACN≌△BCD，

∴CN=CD，

∵∠ACN+∠NCE=90°，

∴∠NCB+∠BCD=90°，

∴∠CND=∠CDN=45°，

∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN，

∴AN=CN，

∴∠NCE=∠AEC=67.5°，

∴CN=NE，

∴CD=AN=EN=AE，

∴②正确，③正确；

过D作DH⊥AB于H，

∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，

∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，

∴∠MCD=∠DBA，

∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，

∴DM=DH，

在△DCM和△DBH中

∠M=∠DHB=90°，∠MCD=∠DBA，DM=DH，

∴△DCM≌△DBH，

∴BH=CM，

由勾股定理得：AM=AH，

∴，

∴④正确；

故选D．

考点：1.等腰直角三角形；2.三角形内角和外角性质；3.全等三角形的判定与性质；4.直角三角形斜边上的中线．