Question

（本题10分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA ：OC=2 ：7．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为线段CB上，点P在对称轴的右侧抛物线上，PD=PB，当tan∠PDB＝２，求P点的坐标；

（3）在（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．

Answer

（1） y＝-x２＋x-7 ；（2）P（8，-3）；

（3）R（10，-12）,Q（7，-11）或R（6，2），Q（7，-7）

【解析】

试题分析：（1）有直线解析式可以求出C点的坐标，再利用OA ：OC=2 ：7．求出A的坐标.最后把A、C代入抛物线解析式求出即可.

（2）先求出B的坐标可得∠OCB=∠OBC=45°，又过P作PE⊥BC于点E，所以∠CFG=∠OCB==45°就得到线段EF、BF、EP的数量关系；又tan∠PDB＝２可以得到线段EP、DE、PD的 数量关系，然后设出P、F的坐标利用他们的纵坐标相等即可求出点的坐标；

（3）若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形有两种情况：线段PD有可能是边也有可能是对角线.

当PD是边时 ，即DP∥QR时， ∵B（7，0），Q（7，n） ∴BQ∥y轴

过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N，过R作RM⊥BQ于点M. 设PD交BQ于点T，DN交BM于点I

即可证明△RMQ≌△DNP，再求出D点的坐标，设R点的横坐标为t，∵RM=DN，∴t-7=8-5解得t=10，再把t=10带入抛物线即可求出R、Q；当PD是对角线时 ，同理求出.

试题解析：（1）∵直线y=kx-7与y轴的负半轴交于点C ∴C（0，-7） ∴OC=7

∵抛物线y=ax2+bx+14a经过点C，∴14a=-7，∴a =- ∴y＝-x２＋bx-7

∵OA ：OC=2 ：7． ∴OA=2，∴A（2，0） ∵抛物线y＝-x２＋bx-7经过点A

∴b= ∴抛物线的解析式为y＝-x２＋x-7

（2）如图1，∵抛物线y＝-x２＋x-7经过B点， 令y=0解得x=7或x=2（舍） ∴B（7，0）

∴ OB=7∴OC=OB∴∠OCB=∠OBC=45°

过点P作PF⊥x轴于点G，交CB延长线于点F，

则PF∥y轴，∴∠CFG=∠OCB==45°

∴BF=GF

过P作PE⊥BC于点E，

∵PD=PB

∴∠PBD=∠PDB

∴tan∠PBD=tan∠PDB=2

∴PE=2BE

∵EF=PE ∴BF=BE

∴PF=PE=2BE=2BF=4GF，

∴PG=3GF

∵直线y=kx-7过B点 ∴ k=1 ∴y=x-7

设F（），则P（）

因为点P在抛物线y＝-x２＋x-7上，

所以，

解得m=7（舍）或m=8

∴P（8，-3）

如图2,当DP∥QR时，即四边形DQRP是平行四边形 ∵B（7，0），Q（7，n） ∴BQ∥y轴

过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N，

过R作RM⊥BQ于点M.

设PD交BQ于点T，DN交BM于点I

∴∠DTB=∠DPN，∠PTQ=∠RQM, ∵∠DTB=∠PTQ

∴∠DPN=∠RQM

∵四边形DPRQ是平行四边形

∴DP=RQ

∵∠RMQ=∠DNP，∴△RMQ≌△DNP

∴RM=DN，MQ=PN

由（2）可求F（8，1），GF=1，BD=2BE=BF=

∵∠QBC=45°，∴BI=DI=2 ∴D（5，-2）

设R点的横坐标为t，∵RM=DN，∴t-7=8-5

解得t=10

∵点R在抛物线y＝-x２＋x-7 上，

∴当t=10时 ，

∴R（10,-12）

∵MQ=PN

∴3-2=-12-n，∴n=-11

∴R（10，-12）,Q（7，-11）

如图3，当DR∥QP时，即四边形DQPR是平行四边形

同理可求得R（6，2），Q（7，-7）

考点：求函数解析式，平行四边形的性质应用，函数的性质的应用.