Question

（本题10分）在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F，AC∥BF．

                   

（1）如图1，求证：FG=FB；

（2）如图2，连接BD、AC，若BD=BG，求证：AC∥BF；

（3）在（2）的条件下，若tan∠F=，CD=1，求⊙O的半径

Answer

（1）（2）证明见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）连接OB，由BF是圆的切线可得直角，又有垂直，对顶角，利用等角的余角相等即可证；

（2）∠CAB和∠BDC都是弧BC所对的圆周角可证∠CAB=∠BDC，又可证∠DGB=∠GDB就可证∠CAB=∠GBF，即可证得平行；

（3）由平行可得∠ACE=∠F就得到tan∠F==tan∠ACE，由垂径定理可的CE=，再由勾股定理求得AE，连接OE再用勾股定理求得半径.

试题解析：证明：（1）如图1

连接OB ∵BF是⊙O的切线

∴∠OBF=90°

∴∠OBA+∠GBF=90°

∵OA⊥CD

∴∠AEG=90° ∴∠AGE+∠EAG=90°

∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA

∴∠AGE=∠FBG

∵∠AGE=∠FGB

∴∠FGB=∠FBG

∴FG=FB

（2）∵BD=BG ∴∠DGB=∠GDB

∵∠CAB和∠BDC都是弧BC所对的圆周角

∴∠CAB=∠BDC

∴∠CAB=∠FGB

∵∠FGB=∠FBG

∴∠CAB=∠GBF

∴AC∥FB

【解析】
（3） 由（2）得∠FBG=∠CAG ∵∠FGB=∠FBG

∴∠CAG=∠FGB ∵∠FGB=∠CGA

∴∠CGA=∠CAG ∴CA=CG

∵AC∥BF∴∠ACE=∠F∴ tan∠ACE=tan∠F

∵tan∠F=∴tan∠ACE=∴

设AE=3k，则CE=4k. 在Rt△ACE中，

=5k

∴CG=5k

∴EG=CG-CE=5k-4k=k

∴k=1

∴CE=4，AE=3

连接OC,设⊙O的半径为R ，在Rt△CEO中，

CO2=CE2＋OE 2 R2=42＋（R-3） 2 解得R=

即⊙O的半径为.

考点： 切线的性质定理，勾股定理，平行的判定.