Question

已知二次函数y=ax²+bx的图象经过点A（-5，0）和点B,其中点B在第一象限，且OA=OB，tan∠BAO=

（1）求点B的坐标。

（2）求二次函数的解析式。

（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，连结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标。

Answer

（1）点B的坐标是（3，4），（2）y=x2+x；（3）点P的坐标为（6，0）或（，0）．

【解析】

试题分析：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，根据余切的定义可设BD=x，AD=2x，在Rt△ODB中根据勾股定理可计算出x，则BD=4，OD=3，所以点B的坐标是（3，4）；

（2）利用待定系数法可确定二次函数的解析式；

（3）先确定C点的坐标为（-8，4），则BC=11，AB=4，由CB∥x轴得到∠ABC=∠BAP，再分类讨论：当△ABC∽△BAP；当△ABC∽△PAB，然后利用比例线段求AP的长，从而确定P点坐标．

试题解析：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，如图，

在Rt△ADB中，∠ADB=90°，tan∠BAO=

设BD=x，AD=2x，

∵OA=0B=5，

∴OD=2x-5，

在Rt△ODB中，∵OD2+BD2=OB2，

∴（2x-5）2+x2=52，

解得x1=4，x2=0（不合题意，舍去），

∴BD=4，OD=3，

∴点B的坐标是（3，4），

（2）根据题意得

，

解这个方程组，得

，

∴二次函数的解析式是y=x2+x；

（3）∵直线BC平行于x轴，

∴C点的纵坐标为4，

设C点的坐标为（m，4）．

由题意得m2+m=4，

解得m1=3（不合题意，舍去），m2=-8，

∴C点的坐标为（-8，4），BC=11，AB=4

∵∠ABC=∠BAP，

①如果△ABC∽△BAP，那么

∴AP=11，点P的坐标为（6，0），

②如果△ABC∽△PAB，那么，

∴AP=，点P的坐标为（，0），

综上所述，点P的坐标为（6，0）或（，0）．

考点：待定系数法求二次函数解析式．