Question

（本题满分12分）AB是⊙O的直径，AD与⊙O相交，点C是⊙O上一点，经过点C的直线交AD于点E．

（1）如图1 ，若AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，求证：CE是⊙O的切线；

（2）如图2，若CE是⊙O的切线，CE⊥AD于点E，AC是∠BAD的平分线吗？说明理由；

（3）如图3，若CE是⊙O的切线，AC平分∠BAD，AB=8，AC=6，求AE的长度．

Answer

（1）（2)见解析 （3）AE

【解析】

试题分析：（1）首先连接OC，根据OA=OC得出∠OAC=∠OCA，根据角平分线的性质得出∠OCA=∠CAD，得到OC∥AE，从而说明CE为切线；（2）方法同（1)；（3）根据切线的性质来证明△ABC和△ACE相似，从而求出AE的长度．

试题解析：（1）证明：连接OC ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∵AC平分∠BAD ∴∠OCA=∠CAD

∴OC∥AD ∵CE⊥AD ∴CE⊥OC 又∵OC是半径 ∴CE是⊙O的切线。

（2）【解析】
AC是∠BAD的平分线

理由：连接OC ∵CE是⊙O的切线 ∴CE⊥OC ∵CE⊥AD ∴OC∥AD

∴∠OCA=∠CAD ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∴∠OCA=∠CAD 即：AC是∠BAD的平分线

（3）【解析】
连接OC、BC ∵CE是⊙0的切线 ∴CE⊥OC ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=900

∴∠ACE=∠OCB ∵OB=OC ∴∠B=∠OCB ∴∠B=∠ACE

∵AC平分∠BAD ∴△ABC∽△ACE

∴ 即： 解得：AE=

考点：切线的判定与性质、三角形相似的判定与性质．