Question

（本题满分11分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．

（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．

Answer

（1）见解析 （2）4π－3

【解析】

试题分析：（1)根据AB=AD，∠BAD=120°可以得到∠ABD=∠ADB=30°，从而说明弧AB和弧AD的度数为60°，根据BC为直径可以说明弧CD的度数也是60°，从而可以得到AB=CD，然后根据∠CAD=∠ACB=30°得出AD∥BC；（2）阴影部分面积利用扇形面积减去△BOD的面积．

试题解析：（1）证明：∵∠BAD=120°，AB=AD ∴∠ABD=∠ADB=30° ∴弧AB和弧AD的度数都等于60°

又 ∵BC是直径 ∴弧CD的度数也是60° ∴AB=CD

∵∠CAD=∠ACB=30° ∴BC∥AD ∴四边形ABCD是等腰梯形．

（2）∵BC是直径 ∴∠BAC=90° ∵∠ACB=30°，AC=6 ∴BC= ∴r=2

∵弧AB和弧AD的度数都等于60° ∴∠BOD=120°

连接OA交BD于点E,则OA⊥BD ∴OE=OB×sin30°= BE=0B×cos30°=3 BD=2BE=6

∴==4π－3．

考点：垂径定理、锐角三角形函数、弧与圆周角的度数关系．