Question

（10分）已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；

（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．

Answer

（1）等边三角形；（2）S=；（3）t=.

【解析】

试题分析：（1）当t=2时，分别求出BQ和BP的长度，然后进行说明；（2）过点Q作QE⊥AB，利用三角函数求出QE的长度，然后求出△BPQ与t之间的关系；（3）根据题意可得△CRQ为等边三角形，求出QR、BE、EP与t的关系可以得出四边形EPQR是平行四边形，然后进行计算.

试题解析：（1）△BPQ是等边三角形

当t=2时 AP=2×1=2，BQ=2×2=4

∴BP=AB﹣AP=6﹣2=4 ∴BQ=BP 又∵∠B=60°

∴△BPQ是等边三角形；

（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E

由QB=2t，得QE=2t•sin60°=t 由AP=t，得PB=6﹣t

∴S△BPQ=×BP×QE=（6﹣t）×t=﹣t

∴S=﹣t；

（3）∵QR∥BA ∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°

∴△QRC是等边三角形 ∴QR=RC=QC=6﹣2t

∵BE=BQ•cos60°=×2t=t

∴EP=AB﹣AP﹣BE=6﹣t﹣t=6﹣2t

∴EP∥QR，EP=QR ∴四边形EPRQ是平行四边形

∴PR=EQ=t 又∵∠PEQ=90°， ∴∠APR=∠PRQ=90° ∵△APR∽△PRQ，

∴∠QPR=∠A=60° ∴tan60°= 即 解得t=

∴当t=时，△APR∽△PRQ．

考点：二次函数的实际应用、三角形相似的判定.