Question

（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的⊙O经过点D。

（1）求证： BC是⊙O切线；

（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长。

Answer

（1）见解析 （2）AC=6.

【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据OA=OD得出∠OAD=∠ODA，根据角平分线可得∠OAD=∠DAC，从而可以得出：∠ODA=∠DAC，说明OD∥AC，得到所求的结论；（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE=DC=3，AC=AE，根据勾股定理得到BE=4，然后设AC=x，则AB=x+4，BC=8，根据直角△ABC的勾股定理求出AC的长度.

试题解析：（1）证明:连接OD. ∵ OA=OD AD平分∠BAC ∴ ∠ODA=∠OAD ∠OAD=∠CAD

∴ ∠ODA=∠CAD ∴ OD//AC ∴ ∠ODB=∠C=90° ∴ BC是⊙O的切线.

过D点作AB的垂线段DE ∴DE=DC=3，BD=5， 则BE=4，

又∵AE=AC,在直角△ABC中运用勾股定理,设AC=x,则 解得：x=6， ∴ AC=6

考点：切线的判定、勾股定理的应用.