Question

（9分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：

AE       DB（填“>”,“<”或“=”）.（2分）

（2）特例启发，解答题目      （5分）

【解析】
题目中，AE与DB的大小关系是：AE      DB（填“>”,“<”或“=”）.

理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.  （请你接着完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题       （2分）

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为3，AE=1，则CD的长为             （请你直接写出结果）.

Answer

（1）= （2）= 证明见解析 （3）2或4.

【解析】

试题分析：利用三角形全等证明的办法来说明线段长度之间的关系，根据的等腰三角形的性质来说明BE=CF，ED=EC，从而可以证明△DBE≌△EFC，从而得到所要求的结论.

试题解析：（1） = （2） =

证明：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.

在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC， ∴AE=AF=EF（等角对等边），

∵AB-AE=AC-AF， ∴BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°， ∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∵ED=EC， ∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE， ∴∠BED=∠FCE，

∴△DBE≌△EFC（ASA） ∴DB=EF， ∴AE=BD．

（3）CD的长是2或4.

考点：三角形全等的证明与性质.