Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，  将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DEC,点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在的直线翻转180°得到△ABF.且使C、B、F三点在一条直线上，连接AD。

（1）求证：四边形AFCD是菱形；

（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG,请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形ABCG是矩形．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）需证明△ACD是等边三角形、△AFC是等边三角形，即可证明四边形AFCD是菱形．

（2）可先证四边形ABCG是平行四边形，再由∠ABC=90°，可证四边形ABCG是矩形．

试题解析：（1）证明：Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到，

∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴AD=DC=AC，

又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到，

∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°，

∵∠ACB=∠ACD=60°，

∴△AFC是等边三角形，

∴AF=FC=AC，

∴AD=DC=FC=AF，

∴四边形AFCD是菱形．

（2）四边形ABCG是矩形．

证明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，

∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，

∴BC=AC，

∵EC=CB，

∴EC=AC，

∴E为AC中点，

∴DE⊥AC，

∴AE=EC，

∵AG∥BC，

∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，

∴△AEG≌△CEB，

∴AG=BC，

∴四边形ABCG是平行四边形，

∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCG是矩形．

考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等边三角形的判定；4.平行四边形的判定；5.菱形的判定；6.矩形的判定．