Question

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．  

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；     

（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？      

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer

（1）．（0＜x＜4）（2）x=时，⊙O与直线BC相切；（3）y=-x2+6x-6，当x=时，y值最大，最大值是2．

【解析】

试题分析：（1）由于三角形PMN和AMN的面积相当，那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积，求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似，根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积；

（2）当圆O与BC相切时，O到BC的距离就是MN的一半，那么关键是求出MN的表达式，可根据三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表达式，也就求出了O到BC的距离的表达式，如果过M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距离，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ，然后让这两表示MQ的含x的表达式相等，即可求出x的值；

（3）要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时，x的取值，那么P落点BC上时，MN就是三角形ABC的中位线，此时AM=2，因此可分两种情况进行讨论：

①当0＜x≤2时，此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积，三角形PMN的面积（1）中已经求出，即可的x，y的函数关系式．②当2＜x＜4时，如果设PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四边形MEFN，可通过三角形PMN的面积-三角形PEF的面积来求重合部分的面积．不难得出PN=AM=x，而四边形BMNF又是个平行四边形，可得出FN=BM，也就有了FN的表达式，就可以求出PF的表达式，然后参照（1）的方法可求出三角形PEF的面积，即可求出四边形MEFN的面积，也就得出了y，x的函数关系式．然后根据两种情况得出的函数的性质，以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可．

试题解析：（1）∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．

∴△AMN∽△ABC．

∴，

即；

∴AN=x；

∴S=S△MNP=S△AMN=．（0＜x＜4）

（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．

在Rt△ABC中，BC==5；

由（1）知△AMN∽△ABC，

∴，

即，

∴MN=

∴OD=，

过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=，

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA，

∴，

∴BM=，AB=BM+MA=

∴x=，

∴当x=时，⊙O与直线BC相切；

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．

∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，

∴△AMO∽△ABP，

∴，

∵AM=MB=2，

故以下分两种情况讨论：

①当0＜x≤2时，y=S△PMN=x2，

∴当x=2时，y最大=×4=，

②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，

∵四边形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=AM=x，

又∵MN∥BC，

∴四边形MBFN是平行四边形；

∴FN=BM=4-x，

∴PF=x-（4-x）=2x-4，

又∵△PEF∽△ACB，

∴()2=，

∴S△PEF=（x-2）2；

y=S△MNP-S△PEF=x2-（x-2）2=-x2+6x-6，

当2＜x＜4时，y=-x2+6x-6=-（x-）2+2，

∴当x=时，满足2＜x＜4，y最大=2．

综上所述，当x=时，y值最大，最大值是2．

考点：二次函数综合题．