Question

（本题满分13分）如图1，反比例函数（）的图象经过点A（，1），射线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，），射线AC与轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．

（1）求的值；

（2）求∠DAC的度数及直线AC的解析式；

（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线轴，与AC相交于N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

Answer

（1）；（2）30°，；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=；

（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，），则AH=，BH=，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为；

（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t，）（0＜t＜1），由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为（t，），则MN=，根据三角形面积公式得到=，再进行配方得到S=（0＜t＜1），最后根据二次函数的最值问题求解．

试题解析：（1）把A（，1）代入，得=；

（2）作BH⊥AD于H，如图1，把B（1，a）代入反比例函数解析式，得a=，∴B点坐标为（1，），∴AH=，BH=，∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，∴tan∠DAC=tan30°=，∵AD⊥y轴，∴OD=1，AD=，∵tan∠DAC==，∴CD=2，∴OC=1，∴C点坐标为（0，﹣1），设直线AC的解析式为，把A（，1）、C（0，﹣1）代入，得：，解得：，∴直线AC的解析式为；

（3）设M点坐标为（t，）（0＜t＜1），∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为（，），∴MN==，

∴===（0＜t＜1），

∵，∴当时，S有最大值，最大值为．

考点：1．反比例函数综合题；2．一次函数的性质；3．二次函数的最值．