Question

（10分）直线经过点A（1，3），与y轴交于点B，与x轴交于点C．

（1）求直线AB的解析式；

（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90⁰，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线AB交于点F，求△BDF的面积；

（3）过B点作x轴的平行线BG，点M在直线BG上，且到点（1，1）的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得∠AMB＋∠ANB = 45⁰的点N的坐标．

Answer

（1）；（2）；（3）N（5，1）或N（－3，1）．

【解析】

试题分析：（1）把A的坐标代入即可求出结论；

（2）根据旋转的性质就可以求出D、E的坐标，由勾股定理就可以求出BD，DE、DF的值根据三角形面积公式就可以求出结论；

（3）根据题意画出图形，分情况讨论运用相似三角形的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）∵直线经过点A（1，3），∴，∴，∴直线AB为：；

（2）令，则，令，则，∴B（0，1），C（，0），将直线AB绕O点顺时针旋转900，设DE与BC交于点F，∴D（1，0），E（0，），∠CFD=90°，∴OB=OD=1，OC=，∴CD=，

在Rt△BOC中，由勾股定理，得CB=，BD=．∵CD•OB=CB•DF，∴DF=，∴由勾股定理，得BF=，∴==；

（3）如图2，在BG上取一点Q，使AP=QP，∴∠AQP=45°，∴∠ANB+∠QAN=∠QAM+∠AMB=45°，∵∠AMB+∠ANB=45°，∴∠ANB=∠QAM，∴△AQN∽△MQA，∴，∵AD=3，OD=1，∴AP=QP=2，∴QM=4，AQ=，∵MP=6，∴MQ=4．∴，∴QN=2，∴BN=5，∴N（5，1）；

如图3，在BG上取一点Q，使AP=QP，∴∠AQP=45°，∴∠ANB+∠AMB=∠QAM+∠AMB=45°，∴∠ANB=∠QAM，∴△AQM∽△NAM，∴．∵AD=3，OD=1，∴AP=QP=2，∴QM=4，BM=7，AQ=，∵MP=6，∴MQ=4．AM=，∴，∴MN=10，∴BN=3．∴N（﹣3，1）；∴N（﹣3，1）或（5，1）．

考点：二次函数综合题．